Шпаргалки для ЕГЭ по математике

Формулы  сокращенного умножения

(а+b)² = a² + 2ab + b²

(а-b)² = a² - 2ab + b²

a² – b² = (a-b)(a+b)

a³ – b³ = (a-b)( a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a+b)( a² - ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab²+ b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b+ 3ab²- b³

Свойства степеней

a⁰ = 1 (a≠0)

a^m/n = (a≥0, n ε N, m ε N)

a^{- r} = 1/ a ^r (a>0, r ε Q)

a ^m · a ⁿ = a ^{m + n}

a ^m : a ⁿ = a ^{m – n}  (a≠0)

(a ^m) ⁿ = a ^mn

(ab) ⁿ = a ⁿ b ⁿ

(a/b) ⁿ = a ⁿ/ b ⁿ

Геометрическая прогрессия

b _n+1 = b_n · q, где n ε N

q – знаменатель прогрессии

b _n = b₁ · q ^{n – 1} – n-ый член прогрессии

Сумма  n-ых членов

S _n = (b _n q - b ₁ )/q-1

S _n = b ₁ (q ⁿ - 1 )/q-1

Модуль

|a| = a, если a≥0

        -a, если a<0

Формулы cos и sin

sin (-x) = -sin x

cos (-x) = cos x

sin (x + π) = -sin x

cos (x + π) = -cos x

sin (x + 2πk) = sin x

cos (x + 2πk) = cos x

sin (x + π/2) = cos x

Объемы и поверхности тел

1. Призма, прямая или наклонная, параллелепипед  V = S·h

2. Прямая призма S_БОК = p·h, p – периметр или длина окружности

3. Параллелепипед прямоугольный

V = a·b·c; P = 2(a·b + b·c + c·a)

P – полная поверхность

4. Куб:  V = a³ ; P = 6 a²

5. Пирамида, правильная и неправ.

S = 1/3 S·h; S – площадь основания

6. Пирамида правильная S =1/2 p·A

A – апофема правильной пирамиды

7. Цилиндр круговой V = S·h = πr²h

8. Цилиндр круговой: S_БОК = 2 πrh

9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr²h

   10. Конус круговой: S_БОК = 1/2 pL= πrL

Тригонометрические уравнения

sin x = 0, x = πn

sin x = 1, x = π/2 + 2 πn

sin x = -1, x = - π/2 + 2 πn

cos x = 0, x = π/2 + 2 πn

cos x = 1, x = 2πn

cos x = -1, x =  π + 2 πn

Теоремы сложения

cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny

cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny

sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny

sin (x -y) = sinx ·cosy - cosx ·siny

tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 ^-₊ tg x ·tg y

ctg (x ±y) = tg x ^-₊ tg y/ 1± tg x ·tg y

sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x^-₊y/2)

cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x^-₊y/2)

1 + cos 2x = 2 cos² x; cos²x = 1+cos2x/2

1 – cos 2x = 2 sin² x; sin²x = 1- cos2x/2

6. Трапеция

a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h

7. Квадрат

а – сторона, d – диагональ S = a² = d²/2

8. Ромб

a – сторона, d₁, d₂ – диагонали, α – угол между ними S = d₁d₂/2 = a²sinα

9. Правильный шестиугольник

a – сторона S = (3√3/2)a²

10. Круг

S = (L/2) r = πr² = πd²/4

11. Сектор

S = (πr²/360) α

Правила дифференцирования

( f (x) + g (x) )’ = f ’(x) + g’(x)

(k(f(x))’ = kf ’ (x)

(f(x) g(x))’ = f ’(x)·g(x) + f(x)·g’(x)

(f(x)/g(x))’=(f ’(x)·g(x) - f(x)·g’(x))/g² (x)

(xⁿ)’ = nx ^n-1

(tg x)’ = 1/ cos² x

(ctg x)’ = - 1/ sin² x

(f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)

Уравнение касательной к графику функции

y = f ’(a) (x-a) + f(a)

Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b

S =  ∫( f(x) – g(x)) dx

Формула Ньютона-Лебница

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F (a)

t	π/4	π/2	3π/4	π
cos	√2/2	0	-√2/2	1
sin	√2/2	1	√2/2	0
t	5π/4	3π/2	7π/4	2π
cos	-√2/2	0	√2/2	1
sin	-√2/2	-1	-√2/2	0
t	0	π/6	π/4	π/3
tg	0	√3/3	1	√3
ctg	-	√3	1	√3/3

sin x = b x = (-1)ⁿ arcsin b + πn

cos x = b  x = ± arcos b + 2 πn

tg x = b  x = arctg b + πn

ctg x = b  x = arcctg b + πn

Теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

Теорема косинусов: с²=a²+b²-2ab cos y

Первообразная

Если F’(x) = f(x), то F(x) - первообразная

для f(x)

Функция f(x) = Первообразная F(x)

k = kx + C

xⁿ = xⁿ⁺¹/n+1  + C

1/x = ln |x| + C

e^x = e^x + C

a^x = a^x/ ln a + C

1/√x = 2√x + C

cos x = sin x + C

1/ sin² x = - ctg x + C

1/ cos² x = tg x + C

 sin x = - cos x + C

1/ x² = - 1/x